●회로이론 36강:역라플라스변환
● ℒ$^{-1}[F(S)]=f(t)$
*예제를 풀면서 익혀 봅니다.
*예제1)
ℒ$^{-1}[\frac{S}{S+b}]$
분자에 +b-b를 한다. 그러면
→ℒ$^{-1}[\frac{S+b-b}{S+b}]$
→ℒ$^{-1}[1-\frac{b}{S+b}]$
여기서 라플라스 역변환하면
$f(t)=\delta(t)-b\cdot e^{-bt}$
*예제2)
ℒ$^{-1}[\frac{1}{(S+a)^2}]$
→ℒ$^{-1}[\frac{1}{S^2}|_{s\to s+a}]$
여기서 라플라스 역변환하면
$f(t)=t\cdot e^{-at}$
*예제3)
ℒ$^{-1}[\frac{S}{(S+a)^2+b^2}]$
여기서 분자에 +a-a를 하면
→ℒ$^{-1}[\frac{S+a}{(S+a)^2+b^2}-a\frac{1}{(S+a)^2+b^2}]$
여기서 $-a\frac{1}{(s+a)^2+b^2}$에 $\times\frac{b}{b}$하면
→ℒ${^-1}[\frac{S}{S^2+b^2}-\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{S^2+b^2}|_{s\to s+a}]$
여기서 라플라스 역변환하면
$f(t)=cosbt\cdot e^{-at}-\frac{a}{b}sinbt\cdot e^{-at}$
●부분 분수
●$\frac{1}{A\cdot B}=\frac{1}{B-A}(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})$
예제)
$\frac{1}{(S-1)(S-3)}$을 라플라스 역변환하라.
$=\frac{1}{S-3-S+1}(\frac{1}{S-1}-\frac{1}{S-3})$
$=-\frac{1}{2}(\frac{1}{S-1}-\frac{1}{S-3})$
$=\frac{1}{2}(\frac{1}{S-3}-\frac{1}{S-1})$
여기서 라플라스 역변환하면
$=\frac{1}{2}(e^{3t}-e^t)$
●헤비사이드 부분 분수
*예제를 보며 방식을 외워야 한다.
*예제)
$\frac{2S+3}{S^2+3S+2}$를 라플라스 역변환하라.
① 분모를 인수분해하고 아래처럼 무조건 써 둔다
$=\frac{2S+3}{(S+1)(S+2)}=\frac{A}{S+1}+\frac{B}{S+2}$
위의 상태에서 A와 B를 구한다.
② 양 변에 (S+1)(S+2)를 곱하면
$2S+3=A(S+2)+B(S+1)$
③ ②에서 B(S+1)이 없을 때 A를 구한다.
$A=\frac{2S+3}{S+2}|_{s=-1}=1$
④ ②에서 A(S+2)가 없을 때 B를 구한다.
$B=\frac{2S+3}{S+1}|_{s=-2}=1$
⑤구한 A와 B의 값을 ②에 대입한다.
$\frac{1}{S+1}+\frac{1}{S+2}$
여기서 라플라스 역변환하면
$=e^{-t}+e^{-2t}$
●완전제곱식
$F(S)=\frac{3}{S^2+4S+5}$
5를 4+1로 나누고 인수분해를 한다.
$=\frac{3}{(S+2)^2+1^2}$
$3\cdot\frac{1}{S^2+1^2}|_{s\to s+2}$
여기서 라플라스 역변환하면
$f(t)=3sint\cdot e^{-2t}$
*어려워서 인터넷에서 찾아보다가 변환표를 복사해 왔다.
