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전기(산업)기사필기/회로이론

라플라스 변환, 라플라스 재정리,전기기사 회로이론

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●회로이론 35강:라플라스 변환,라플라스재정리

●표로 정리

 

 

● 라플라스 변환의 정의

F(S)= ℒ[f(t)](s)= 0f(t)estdt

 

●단위계단함수

f(t)=u(t)

 

u(t){0<t10>t0

 

F(s)= ℒ[u(t)](s)=1S

 

F(s)= ℒ[3 u(t)](s)=31S

 

●단위 임펄스함수(단위충격함수).델타함수

f(t)=δ(t)

f(s)=[δ(t)](s)=1

 

f(t)=1,(t=0)

f(t)=0,(t0)

 

●단위경사함수

f(t)=t

 

f(t)=tu(t)

 

F(s)=  [tu(t)](s)=1S2

 

●상수 함수

f(t)=K   F(s)= [k](s)=k1S

 

●시간의 함수

f(t)=tn

 

F(s)= [tn]=n!Sn+1

 

※!(팩토리얼) 앞의 숫자부터 아래로 1까지 곱한다는 의미이다. 예를들면 5!=5× 4× 3 ×2 ×1 이다. 

 

예시)

 

f(t)=t4

 

F(s)=[t4](s)=4!S4+1=24S5

 

※4!=4 × 3 × 2 × 1=24

 

●지수 함수

f(t)=eat

 

f(t)=eat

 

F(s)= [eat](s)=1s+a

 

F(s)= [eat](s)=1sa

 

●삼각 함수

f(t)=sinωt

 

f(t)=cosωt

 

F(s)= [sinωt](s)=ωS2+ω2

 

F(s)= [cosωt](s)=SS2+ω2

 

●쌍곡선 함수

f(t)=sinhωt

 

f(t)=coshωt

 

F(s)= [sinhωt](s)=ωS2ω2

 

F(s)= [coshωt](s)=SS2ω2

 

라플라스 재정리  

●시간추이 정리

f(t)=u(t)1S

 

 

f(t)=u(ta)1Seas

 

 

f(t)=u(tb)1Sebs

 

 

f(t)=u(ta)u(tb)

1S(easebs)

 

●복소추이 정리

f(t)eat

 

F(s)= [f(t)eat](s)=F(S)|Ss+a

 

예제)

 

teat를 라플라스 변환하라

 

[teat](s)=1S2|ss+a

 

=1(s+a)2

 

예제)

 

sinωteat를 라플라스변환하라.

 

ωS2+ω2|ss+a

 

=ω(s+a)2+ω2

 

예제)

 

cos\omega t\cdot e^{at}를 라플라스 변환하라

 

ss2+ω2|ssa

 

=sa(sa)2+ω2

 

 

●복소 미분정리

f(t)tn

 

[f(t)tn](s)

 

=(1)ndndsnF(s)

 

예제1)

 

teat

 

[teat](s)=(1)1dds1s+a

 

=1(s+a)2

 

(fg)=fgfgg2

 

 

예제2)

 

tsinωt

 

(1)1ddsωs2+ω2

 

(1)0(s2+ω2)ω2s(s2+ω2)2

 

=2ωs(s2+ω2)2

 

=2ωs(s2+ω2)2

 

●실미분정리

[ddtf(t)](s)=sF(s)F(0)

 

예제)

 

[ddtcosωt](s)

 

[ωsinωt](s)

 

ωωs2+ω2

 

ω2S2+ω2

 

******

 

 [ωsinωt](s)

 

Sss2+ω21

 

S2S2+ω2S2+ω2S2+ω2

 

ω2S2+ω2

 

예제)

 

ddtx(t)+x(t)=2

 

SX(s)x(0)+x(s)=2s

 

SX(s)+x(s)=2s

 

xs(s+1)=2s

 

xs=2s(s+1)

 

●실적분정리

 

 [f(t)dt](s)1sF(s)+1sF(0)

 

※위에서 1scdotF(0)은 초기값이고 0f(t)dt이다.

 

※아래는 실미분,실적분에서 많이 사용하는 것이다,

 

ddtS

 

dt1s

 

f(t)F(S)

 

Kks

 

예제)

 

e(t)=Ri(t)+Ldi(t)dt+1ci(t)dt,f(0)=0을 라플라스변환하라.

 

↓ ↓ ↓ 라플라스 변환 ↓ ↓ ↓

 

E(s)=RI(s)+LSI(s)+1c1sI(s)

 

I(s)=1R+SL+1scE(s)

 

=scS2LC+SRC+1E(s)

 

 

●초기값정리

 

f(0+)=limt0f(t)=limsSF(s)

 

예제)

 

I(s)=2(S+1)S2+2S+5

 

  ↓ 초기값정리   

 

limsS2(S+1)S2+2S+5

 

lims2S2+2SS2+2S+5여기에서 분자,분모에서 각 각 ×1S2를 하면

 

=2+2S1+2SS2+5S2=2

 

●최종값정리

 

f()=limtf(t)=lims0SF(s)

 

예제)

 

C(c)=5S((S2+S+2)

 

↓ ↓ ↓ 최종값정리 ↓ ↓ ↓

 

lims0S5S(S2+S+2)=52

 

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