벡터의 연산,더하기,빼기,내적,외적,기울기,발산,회전,전기자기학(전기기사)

●전기자기학 1-1장:벡터의 연산

● +,- ,×(내적,외적),미분(기울기,발산,회전)

●더하기(같은 성분끼리 더한다)

$\vec{A}=6i+7j+8k$

$\vec{B}=3i+4j+5k$

$\vec{A}+\vec{B}$

$=i(6+3)+j(7+4)+k(8+5)$

$=9i+11j+13k$

 

●빼기(같은 성분끼리 뺀다)

$\vec{A}=6i+7j+8k$

$\vec{B}=3i+4j+5k$

$=i(6-3)+j(7-4)+k(8-5)$

$=3i+3j+3k$

 

●내적(스칼라곱)=일

w=F×r

일=힘×거리

$\vec{A}\circ\vec{B}=ABcos\theta$

※$\circ$는 '도트'라고 읽는다.

$\cos\theta\left\{\begin{matrix}0^{\circ}=1\\90^{\circ}=0\end{matrix}\right.$

$i\circ i=j\circ j=k\circ k=1$

$i\circ j=j\circ k=k\circ i=0$

$\vec{A}=Axi+Ayj+Azk$

$\vec{B}=Bxi+Byj+Bzk$

$\vec{A}\circ\vec{B}$

$=(Axi+Ayj+Azk)\circ(Bxi+Byj+Bzk)$

${\color{Red}=AxBx+AyBy+AzBz}$

위와 같이 내적은 스칼라이고 같은성분끼리 곱한다.(i,j,k는 없다.)

 

●외적(벡터곱).회전면적

$\vec{A}\times\vec{B}=ABsin\theta\vec{n}$

※$\times$는 '크로스'라고 읽고, $\vec{n}$은 법선벡터(수직벡터).

$i\times i=j\times j=k\times k=0$

$i\times j=k$

$j\times k=i$

$k\times i=j$

$j\times i=-k$

$k\times j=-i$

$i\times k=-j$

※방향이 중요하다.

※내적은 같은 성분끼리.

※외적은 수직 성분끼리.

※행렬로 계산하면 좋다.

 

$\vec{A}=Axi+Ayj+Azk$

$\vec{B}=Bxi+Byj+Bzk$

$\vec{A}\times\vec{B}=?$

$\downarrow$행렬로 계산하면.

$\begin{bmatrix}i&j&k\\Ax&Ay&Az\\Bx&By&Bz\end{bmatrix}$

$=i(AyBz-AzBy)+j(AzBx-AxBz)+k(AxBy-AyBx)$

 

ex)$\vec{A}\circ\vec{B}$

$(2i+3j-4k)\circ(3i+j+2k)$

=6+3-8

=1

ex)$\vec{A}=3i-3j+2k$

$\vec{B}=4i+2j-3k$

$\vec{A}\times\vec{B}=?$

$\begin{bmatrix}i&j&k\\3&-3&2\\4&2&-3\end{bmatrix}$

$=i(9-4)+j(8+9)+k(6+12)$

$=5i+17j+18k$

 

●미분에 대해서

$x^{n}$를 미분하면 $nx^{n-1}$

 

$\frac{d}{dx}x^2=2x$

 

※$x$에 대한 미분일 때,$x$외에 다른 거는 그대로...

 

$\frac{d}{dx}x^2yz=2xyz$

 

※$x$에 대해 미분할 때, $x$가 없으면 '0'이다.

 

$\frac{d}{dx}y^2z$=0

 

$\frac{d}{dx}(x^3yz+y^2z=3x^2yz+0)$

 

●벡터의 미분(기울기,발산,회전)

 역삼각형 $\bigtriangledown$ 을 '나블라'라고 읽고, 그 의미는 아래와 같다.

$\bigtriangledown=\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k$

※$\partial$을 '라운드'라고 읽는다.

 

●기울기,경도(grad,그라디언트)

$\bigtriangledown\vec{A}$:grad('그라디언트'라고 읽는다.),기울기

 

$\vec{A}=Axi+Ayj+Azk$

 

$\bigtriangledown\vec{A}=(\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k)\vec{A}$

 

$=\frac{\partial}{\partial x}\vec{A}i+\frac{\partial}{\partial y}\vec{A}j+\frac{\partial}{\partial z}\vec{A}k$

 

●발산(div,다이버전스) :태양처럼 퍼져나가는 양,스칼라

 

$div\vec{A}=\bigtriangledown\circ\vec{A}$

 

$div\vec{A}=\bigtriangledown\circ\vec{A}$

 

$=(\frac{\partial}{\partial x}i+ \frac{\partial}{\partial y}j+ \frac{\partial}{\partial z}k)\circ(Axi+Ayj+Azk)$

 

$=\frac{\partial}{\partial x} Ax +\frac{\partial}{\partial y}Ay+\frac{\partial}{\partial z}Az  $

 

ex)$vec{V}=x^2yz$,(3,2,1)일 때

 

$\bigtriangledown\vec{V}=?$

 

$=\frac{\partial}{\partial x}\vec{V}i+ \frac{\partial}{\partial y}\vec{V}j+ \frac{\partial}{\partial z}\vec{V}k$

 

$=\frac{\partial}{\partial x}x^2yzi+\frac{\partial}{\partial y}x^2yzj+\frac{\partial}{\partial x}x^2yzk$

 

$=2xyz+x^2zj+x^2yk$

 

↓(3,2,1) 즉 $x=3,y=2,z=1$을 대입하면

 

$=12i+9j+18k$

 

ex)$vec{V}=xy^2i+yzj+xzk$(3,2,1)일 때

 

$div\vec{V}=?$

 

$=\frac{\partial}{\partial x}Vx+\frac{\partial}{\partial y}Vy+\frac{\partial}{\partial z}Vz $

 

$=\frac{\partial}{\partial x}xy^2+\frac{\partial}{\partial y}yz+\frac{\partial}{\partial z}xz$

 

$=y^2+z+x$

 

↓(3,2,1) 즉 $x=3,y=2,z=1$을 대입하면

 

$=4+1+3$

 

$=8$

 

●회전(rot,curl)

$\bigtriangledown\times\vec{A}$

 

$=(\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+ \frac{\partial}{\partial z}k)\times(Axi+Ayj+Azk)$

 

$\begin{bmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\Ax&Ay&Az\end{bmatrix}$

 

$=i(\frac{\partial}{\partial y}Az-\frac{\partial}{\partial z}Ay)+j(\frac{\partial}{\partial z}Ax-\frac{\partial}{\partial x}Az)+k(\frac{\partial}{\partial x}Ay-\frac{\partial}{\partial y}Ax)$

 

●$\bigtriangledown\circ\bigtriangledown=\bigtriangledown^2$

※라블라도트라블라는 라플라시안

※미분도트미분은 2번 미분

 

●$\bigtriangledown\times\bigtriangledown=0$

※라블라 클로스 라블라=0(기울기의 회전=0)

 

●스토크의 정리

$\int\vec{A}\cdot dl=\int\bigtriangledown\times\vec{A}ds$

 

●발산 정리

$\int E\cdot ds=\int divE dv$