비정현파 교류, 푸리에급수,비정현파의 계산/회로이론

 

●회로이론 29강:비정현파 교류, 푸리에급수,비정현파의 계산

●비정현파 교류

*교류--정현파(sin,cos) --sin :정현파

                                     --cos : 여현파

        --비정현파--삼각파

                         --구형파

                         --왜형파

 

*비정현파=직류분+기본파+n고조파

*직류분$a_0$

*기본파 : 1고조파, $a_{1}cos\omega t$, $b_{1}sin\omega t$

*(n)고조파:기본파가 n번, $a_{n}cos(n\omega t)$, $b_{n}sin(n\omega t)$

*참고로 고주파와 고조파에 대하여 ....

고주파: 주파수(f)가 굉장히 높은 것.

고조파:w→2$\pi$f(기본파,1고조파)

            2w→$2\cdot 2\pi$f(2고조파)

            3w→$3\cdot 2\pi$f(3고조파)

                  .

                  .

                  .

         nw→$n\cdot 2\pi$f(n고조파)

 

*비정현파를 푸리에급수로 표현해 보자.

$f(t)=a_0+a_{1}cos\omega t+a_{2}cos2\omega t......+a_{n}cos(n\omega t)$

        $+b_{1}sin\omega t+b_{2}sin2\omega t+.........+b_{n}sin(n\omega t)$

 

*푸리에급수의  일반식

$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}cos(n\omega t)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{n}sin(n\omega t)$

 

*적분

$a_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$

 

$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cos(n\omega t)dt$

$=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)cos(n\omega t)dt$

 참고로 주기 $T=2\pi$이다.

 

$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)sin(n\omega t)dt$

$=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)sin(n\omega t)dt$

 

*원점대칭,정현파,sin파,기함수

$a_0$항과 $a_n$항은 없다.

$b_n$항(sin항)은 존재.

$f(t)=-f(-t)$

$sin{30}^{\circ }=-sin(-{30}^{\circ })$

 

*y축 대칭,여현파,cos파,우함수

$a_n$항 (cos항), $a_0$항(직류분) 존재.

$b_n$항은 없다.

$f(t)=f(-t)$

$cos{30}^{\circ }=cos(-{30}^{\circ })$

 

*반파대칭,x축대칭

$a_n$항(cos항)과 $b_n$항 존재.

$a_0$항은 없다.

$f(t)=-f(t-\frac{T}{2})$

$sin{30}^{\circ }=-sin({30}^{\circ }-\frac{{360}^{\circ }}{2})$

참고로 주기 T=360도($2\pi$)이다.

 

●비정현파의 계산

비정현파=직류분+기본파+고조파

$V(t)=5+1\cdot \sqrt{2}sin\omega t+3\cdot \sqrt{2}sin3\omega t+5\cdot \sqrt{2}sin5\omega t[V]$

$i(t)=3+4\cdot \sqrt{2}sin(\omega t-{30}^{\circ })+7\cdot \sqrt{2}sin(5\omega t-{60}^{\circ })[A]$

*실효값($V_{rms}$)

※최대값($V_m$)을 $\sqrt{2}$로 나누면 실효값($V_{r}ms$)이 된다.

$V_{r}ms=\sqrt{{V_0}^2+(\frac{V_{m1}}{\sqrt{2}}{)}^2+(\frac{V_{m2}}{\sqrt{2}}{)}^2....(\frac{V_{mn}}{\sqrt{2}}{)}^2}$

$V_{rms}=\sqrt{5^2+1^2+3^2+5^2}=\sqrt{6}0$

$I_{rms}=\sqrt{3^2+4^2+7^2}=\sqrt{7}4$

 

*왜형률($V_{왜}$)

$V_{왜}=\frac{전고조파의실효값}{기본파의실효값}$

$V_{왜}=\frac{\sqrt{V_2^2+V_3^2+....+V_n^2}}{V_1}$

 

$V_{왜}=\frac{\sqrt{3^2+5^2}}{1}=\sqrt{3}4$

 

$I_{왜}=\frac{\sqrt{7^2}}{4}=\frac{\sqrt{4}9}{4}$

 

*피상전력($P_a$)

$P_a=V_{rms}\cdot I_{rms}=\sqrt{6}0\times \sqrt{7}4[VA]$

 

*유효전력(P)

$P=V_0{I}_0+V_1{I}_{1}cos{\theta }_1+V_2{I}_{2}cos{\theta }_2........$

  $=5\times 3+(1\times 4\times cos{30}^{\circ })+(5\times 7cos{60}^{\circ })$

    =■

 

*역률$cos\theta$

$\frac{P}{P_a}=\frac{■}{\sqrt{6}0\times \sqrt{7}4}=▲$

 

*비정현파의 임피던스(z)

$Z=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega c})$

→직류분 $f=0\omega =0\to Z_0=0$

→기본파 $\omega \to Z_1=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega c})$

→고조파 2: $2\omega \to Z_2=R+j(2\omega L-\frac{1}{2\omega c})$

                3: $3\omega \to Z_3=R+j(3\omega L-\frac{1}{3\omega c})$

                                      .

                                      .

                                      .

                 n: $n\omega \to Z_n=R+j(n\omega L-\frac{1}{n\omega c})$

 

 

*공진=허수부가 0일 때 공진이라고 한다.

※$\omega =2\pi f$

 공진일 때 위의 $n\omega L-\frac{1}{n\omega c}=0$ 

$n\omega L=\frac{1}{n\omega C}$

${\omega }^2=\frac{1}{n^{2}LC}$

$\omega =2\pi f$

$\therefore (2\pi f{)}^2=\frac{1}{n^{2}LC}$

$f^2=\frac{1}{(2\pi n{)}^{2}LC}$

$f=\frac{1}{2\pi n\sqrt{LC}}[HZ]$

 

*고조파의 특징

2, 3,4,5,6,7,8.........

3n 고조파     3,6,9,12,15.......(a,b,c성분 동일)

3n+1 고조파 4.7.10.13.16........(상회전 동일)

3n-1 고조파 2,5,8,11,14...........(상회전 반대)

 

*$\mathrm{\Delta }$결선 Y결선 고조파

$V_{l3}=V_{a3}-V_{b3}=0$

$I_{l3}=I_{a3}-I_{b3}=0$