전기력선,전기력서의 특징,전기력선의 방정식,가우스법칙,포아송방정식,전속,전속밀도,전기자기학(전기기사)

●전기자기학 5강:전기력선,가우스법칙,포아송방정식

●전기력선:어떤 공간 상에 전계의 세기와 방향을 가상적으로 나타낸 선, 전계의 세기가 우리 눈에 보이지 않기 때문에 가상의 선으로 나타낸 것.

*전속: 전기력선의 모음

 

★전기력선(전계의 세기)의 특징.

①전하가 없는 곳에서는 전기력선이 발생하지도 않고 소멸하지도 않고 연속적이다.

$\triangledown.E=0$(다이브젠스.E=0)

→도체 내부에서는 전하가 없다, 전기력선도없고 전계의 세기 E=0

② + → -

③전기력선은 높은 전위(V) → 낮은 전위(V)

$\vec{E}=-\triangledown.V$

④전기력선 방향 = 전계 방향.

⑤전기력선의 밀도 = 전계의 세기

$\frac{N}{S}=E\to N=\oint{E}ds$

※N=전기력선, S=면적.

⑥Q[C]의 전하에서 $N=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$

⑦전기력선은 자신만의 폐곡선이 되지 않는다.

$\triangledown\times{E}=0$

⑧서로 다른 전기력선은 서로 교차하지 않는다.

⑨전기력선은 등전위면과 항상 수직이다.

 

●전기력선 방정식

$\vec{E}=E_{xi}+E_{yj}+E_{zk}$

${\color{Red}\frac{dx}{E_x}=\frac{dy}{E_y}=\frac{dz}{E_z}}$

 

※예제를 보며 외운다.

ex1)${\color{Red}E=xi+yj}$(4.3.0)

${\color{Red}\to y=Ax}$

$A=\frac{y}{x}=\frac{3}{4}\to {\color{Red}y=\frac{3}{4}x}$

 

ex2) ${\color{Red}E=xi-yj}$(4.3.0)

${\color{Red}y=\frac{A}{x}}$

$A=xy=12$

$y=\frac{12}{x}$

 

●전계에서의 가우스법칙.

*가우스법칙:폐곡면 내에 전하와 폐곡면을 통과하는 전기력선과의 관계를 수학적으로 표현한 것을 말한다.

 

● 전하 밀도

*선전하밀도($\rho_l$)

$Q=\int\lambda.dl[c/m]$

 

*면전하밀도($\rho_s$)

$Q=\int{S}.ds[c/m^2]$

 

*체적전하밀도($\rho_v$)

$Q=\int\rho_v.dv[c/m^3]$

 

● 가우스법칙

전기력선 밀도=전계의 세기

 

*가우스의 법칙 (적분형)

$N=\oint{E}ds=\frac{Q}{\epsilon_0}$

 

*가우스의 법칙 (적분형)

$\triangledown.D=\rho_v$

※D(전속밀도)=$\epsilon_0{E}$

 

● 포아송 방정식

$\triangledown.E=\frac{\rho_v}{\epsilon_0}$

$\triangledown^2.V=-\frac{\rho_v}{\epsilon_0}$......포아송방정식

여기서$\rho_v=0$이라면

$\triangledown^2.V=0$.........라플라스 방정식

※$\triangledown^2$....라플라시안

 

*아래 예시를 잘 보자.

ex)$V=3x^2+2y^2+z^2$에서 $\rho_v=?$

$\triangledown^2V=\frac{\rho_v}{\epsilon_0}$

$=6+4+2=12$

$12=-\frac{\rho_v}{\epsilon_0}$

$\rho_v=-12[c/m^3]$

 

● 전속과 전속밀도

전속:전하와 같다고 본다

전속밀도: 단위당 전속 $D[C/m^2]$

전기력선$\to\,\,\frac{Q}{\epsilon_0}$개

전속(전기력선의 묶음)  → Q개

$D=\frac{Q}{4\pi{r^2}}$

위에서 분모 분자에 각 각 $\epsilon_0$를 곱한다.

 

${\color{Red}D=\frac{Q}{4\pi{r^2}}=\epsilon_0{E}}$

 

*정리*

 

정전력 $F=\frac{1}{4\pi{\epsilon_0}}\times\frac{Q_1.Q_2}{r^2}[N]$

 

↓F=Q.E

 

전계의 세기 $E=\frac{1}{4\pi{\epsilon_0}}\times\frac{Q}{r^2}[V/m]$

 

↓$E=-\triangledown{V}\,\,\,,V=-\int{E}.dr$

 

전위 $V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}[V]$

 

전속밀도 $D=\frac{Q}{4\pi{r^2}}[C/m^2]$

 

※ 전계의 세기 $E=\frac{1}{4\pi{\epsilon_0}}\times\frac{Q}{r^2}[V/m]$

 

↓$D=\epsilon_0{E}$

 

전속밀도 $D=\frac{Q}{4\pi{r^2}}[C/m^2]$

 

*$\oint{E}.ds=\frac{Q}{\epsilon_0}$(적분)

 

*$\triangledown.D=\rho_v$(미분)

 

*$\triangledown\times{E}=0$

 

*$\triangledown^2.V=-\frac{\rho_v}{\epsilon_0}$

 

*$\triangledown^2.V=0$